số hoàn hảo

Bách khoa toàn thư há Wikipedia

Số trả hảo (hay thường hay gọi là số trả chỉnh, số trả thiện hoặc số trả thành) là một số trong những nguyên vẹn dương nhưng mà tổng những ước nguyên vẹn dương thực sự của chính nó (các số nguyên vẹn dương bị nó phân chia không còn nước ngoài trừ nó) vì thế chủ yếu nó.

Bạn đang xem: số hoàn hảo

Định nghĩa số hoàn hảo[sửa | sửa mã nguồn]

Số tuyệt đối là những số nguyên vẹn dương n sao cho:

trong tê liệt, s(n) là hàm tổng những ước thực sự của n. Ví dụ:

Hoặc:

trong tê liệt, là hàm tổng những ước của n, bao hàm cả n).

Các số hoàn hảo chẵn[sửa | sửa mã nguồn]

Euclid vẫn tò mò rời khỏi 4 số hoàn hảo nhỏ nhất bên dưới dạng: 2p−1(2p − 1):

Chú ý rằng: 2p − 1 đều là số thành phần trong những ví dụ bên trên, Euclid chứng tỏ rằng công thức: 2p−1(2p − 1) tiếp tục cho tới tao một số hoàn hảo chẵn khi và chỉ khi 2p − một là số thành phần (số thành phần Mersenne).

Các ngôi nhà toán học tập cổ kính gật đầu đồng ý đấy là 4 số hoàn hảo nhỏ nhất mà người ta biết, tuy nhiên phần nhiều những giả thiết bên trên phía trên dường như không được chứng tỏ là chính. Một nhập số này là nếu như 2, 3, 5, 7 là tư số thành phần thứ nhất thì chắc chắn sẽ có được số đầy đủ loại năm khi p = 11, số thành phần loại năm. Nhưng 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 lại là thích hợp số, và thế là p = 11 ko chiếm được số hoàn hảo. 2 sai lầm đáng tiếc không giống của mình là:

Số tuyệt đối loại năm cần đem năm chữ số theo gót hệ cơ số 10 vì thế tư số hoàn hảo thứ nhất đem theo thứ tự 1, 2, 3, 4 chữ số

Chữ số sản phẩm đơn vị chức năng của số hoàn hảo cần là 6, 8, 6, 8 và cứ thế tái diễn.

Xem thêm: hàn viễn truyện chữ

Số tuyệt đối loại năm là bao hàm 8 chữ số, vậy đánh giá và nhận định 1 vẫn sai, về đánh giá và nhận định thứ hai thì số này tận nằm trong là 6. Tuy nhiên cho tới số hoàn hảo loại sáu là thì cũng tận nằm trong là 6. Nói cách tiếp bất kể số hoàn hảo chẵn nào thì cũng cần đem chữ số tận nằm trong là 6 hoặc 8.

Để là số thành phần thì ĐK cần thiết tuy nhiên ko đầy đủ là p là số thành phần. Số thành phần đem dạng 2p − 1 được gọi là Số thành phần Mersenne sau khoản thời gian được một ngôi nhà tu nhập thế kỷ 17 là Marin Mersenne, người học tập lý thuyết số và số hoàn hảo dò thám rời khỏi.

Hơn 1000 năm tiếp theo Euclid, Ibn al-Haytham Alhazen circa xem sét rằng từng số hoàn hảo chẵn đều cần đem dạng 2p−1(2p − 1) khi 2p − một là số thành phần, tuy nhiên ông tao ko thể chứng tỏ được sản phẩm này.[1] Mãi cho tới thế kỷ 18 là Leonhard Euler vẫn chứng tỏ công thức 2p−1(2p − 1) là tiếp tục dò thám rời khỏi những số hoàn hảo chẵn. Đó là nguyên do dẫn cho tới sự tương tác thân thuộc số hoàn hảo và số thành phần Mersenne. Kết trái khoáy này thông thường được gọi là thuyết Euclid-Euler. Tính đến mon 9 năm 2008, mới nhất chỉ mất 46 số Mersenne được dò thám rời khỏi,[2] đem nghĩa đấy là số hoàn hảo loại 46 được biết, số lớn số 1 là 243.112.608 × (243.112.609 − 1) với 25.956.377 chữ số.

39 số hoàn hảo chẵn thứ nhất đem dạng 2p−1(2p − 1) khi

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (dãy số A000043 nhập bảng OEIS)

7 số không giống được biết là lúc p = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112609. Chưa ai biết là đem nhằm sót số này thân thuộc bọn chúng hoặc không

Cũng không có bất kì ai biết chắc hẳn rằng là đem vô hạn số thành phần Mersenne và số hoàn hảo hay là không. Việc dò thám rời khỏi những số thành phần Mersenne vừa mới được triển khai vì thế những siêu máy tính

Các số hoàn hảo đều là số tam giác loại 2p − 1 (là tổng của toàn bộ những số ngẫu nhiên từ một cho tới 2p − 1):

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số hoàn hảo đều là tổng hợp chập 2 của 2p:

p = 2:
p = 3:
p = 5:
p = 7:

Các số hoàn hảo đều phải sở hữu tổng những nghịch ngợm hòn đảo của những ước (kể cả chủ yếu nó) chính vì thế 2:

6:
28:
496:
8128:

Số 6 là số ngẫu nhiên độc nhất đem tổng những ước vì thế tích những ước (không kể chủ yếu nó):

Trừ số 6, từng số hoàn hảo đều là tổng của 2(p−1)/2 số lập phương lẻ tiếp tục kể từ 13 cho tới (2(p+1)/2 − 1)3:

Xem thêm: tôi từng xuyên qua bộ phim này

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Trừ số 6, từng số hoàn hảo khi phân chia 9 thì đều chiếm được thương là số tam giác loại (2p − 2)/3 và số dư là 1:

p = 3:
p = 5:
p = 7:

Số tuyệt đối lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Hiện bên trên người tao vẫn không biết được liệu số hoàn hảo lẻ này ko tuy vậy vẫn có không ít sản phẩm nghiên cứu và phân tích. Trong 1946, Jacques Lefèvre tuyên bố rằng luật của Euclid cho tới từng số hoàn hảo[3], tức thị nhận định rằng không tồn tại số hoàn hảo lẻ này tồn bên trên cả. Euler thì phát biểu rằng: "Liệu ... đem số hoàn hảo lẻ này là thắc mắc cực kỳ khó khăn rất có thể giải đáp".[4] Gần phía trên rộng lớn, Carl Pomerance đã lấy rời khỏi tranh biện vì thế heuristic rằng quả thực ko số hoàn hảo lẻ này nên tồn bên trên [5] Tất cả những số hoàn hảo đều là số điều tiết của Ore và thời điểm hiện tại người tao vẫn đang được fake thuyết không tồn tại số điều tiết lẻ này nước ngoài trừ số 1.

Bất cứ số hoàn hảo lẻ N cần vừa lòng những ĐK sau:

  • N > 101500.[6]
  • N ko phân chia không còn vì thế 105.[7]
  • N bên dưới dạng N ≡ 1 (mod 12) hoặc N ≡ 117 (mod 468) hoặc N ≡ 81 (mod 324).[8]
  • N bên dưới dạng
trong đó:

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Danh sách số thành phần Mersenne và số hoàn hảo

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham”, Bộ tàng trữ lịch sử hào hùng toán học tập MacTutor, Đại học tập St. Andrews
  2. ^ “Great Internet Mersenne Prime Search”. Truy cập 7 mon 10 năm 2015.
  3. ^ Dickson, L. E. (1919). History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. tr. 6.
  4. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf[liên kết URL chỉ mất từng PDF]
  5. ^ Oddperfect.org. Lưu trữ 2006-12-29 bên trên Wayback Machine
  6. ^ a b c Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2012). “Odd perfect numbers are greater kêu ca 101500(PDF). Mathematics of Computation. 81 (279): 1869–1877. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005.
  7. ^ Kühnel, Ullrich (1950). “Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen”. Mathematische Zeitschrift (bằng giờ đồng hồ Đức). 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691. S2CID 120754476.
  8. ^ Roberts, T (2008). “On the Form of an Odd Perfect Number” (PDF). Australian Mathematical Gazette. 35 (4): 244.
  9. ^ a b Zelinsky, Joshua (3 mon 8 năm 2021). “On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 7 mon 8 năm 2021.
  10. ^ Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E (2014). “Improved upper bounds for odd multiperfect numbers”. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 89 (3): 353–359. doi:10.1017/S0004972713000488.
  11. ^ Nielsen, Pace Phường. (2003). “An upper bound for odd perfect numbers”. Integers. 3: A14–A22. Truy cập ngày 23 mon 3 năm 2021.
  12. ^ Ochem, Pascal; Rao, Michaël (2014). “On the number of prime factors of an odd perfect number”. Mathematics of Computation. 83 (289): 2435–2439. doi:10.1090/S0025-5718-2013-02776-7.
  13. ^ Pomerance, Carl; Luca, Florian (2010). “On the radical of a perfect number”. New York Journal of Mathematics. 16: 23–30. Truy cập ngày 7 mon 12 năm 2018.
  14. ^ Goto, T; Ohno, Y (2008). “Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108(PDF). Mathematics of Computation. 77 (263): 1859–1868. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9. Bản gốc (PDF) tàng trữ ngày 7 mon 8 năm 2011. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  15. ^ Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter (2012). “On Prime Factors of Odd Perfect Numbers”. International Journal of Number Theory. 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.
  16. ^ Iannucci, DE (1999). “The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand” (PDF). Mathematics of Computation. 68 (228): 1749–1760. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  17. ^ Zelinsky, Joshua (tháng 7 năm 2019). “Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number”. International Journal of Number Theory. 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734. doi:10.1142/S1793042119500659. S2CID 62885986..
  18. ^ Iannucci, DE (2000). “The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred” (PDF). Mathematics of Computation. 69 (230): 867–879. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.
  19. ^ Bibby, Sean; Vyncke, Pieter; Zelinsky, Joshua (23 mon 11 năm 2021). “On the Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number” (PDF). Integers. 21. Truy cập ngày 6 mon 12 năm 2021.
  20. ^ Nielsen, Pace Phường. (2015). “Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds” (PDF). Mathematics of Computation. 84 (295): 2549–2567. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X. Truy cập ngày 13 mon 8 năm 2015.
  21. ^ Nielsen, Pace Phường. (2007). “Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors” (PDF). Mathematics of Computation. 76 (260): 2109–2126. arXiv:math/0602485. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. S2CID 2767519. Truy cập ngày 30 mon 3 năm 2011.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
  • Perfect numbers - History and Theory
  • Weisstein, Eric W., "perfect number", MathWorld.
  • List of Perfect Numbers Lưu trữ 2001-07-15 bên trên Wayback Machine at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • List of known Perfect Numbers Lưu trữ 2009-05-03 bên trên Wayback Machine All known perfect numbers are here.
  • OddPerfect.org Lưu trữ 2018-11-06 bên trên Wayback Machine A projected distributed computing project to tướng tìm kiếm for odd perfect numbers.